设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。

admin2018-04-18 36

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a一1)x₃²+2x₁x₃一2x₂x₃。
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值。

选项

答案(Ⅰ)二次型f(x₁，x₂，x₃)对应的实对称矩阵为A=[*]，｜λE一A｜=[*] =(λ一a)[(λ—a)(λ一a+1)一1]一[0+(λ一a)] =(λ一a)[(λ一a)(λ一a+1)一2]=(λ一a)[λ²一2aλ+λ+a²一a一2] =(λ-a){λ+[*]}=(λ-a)(λ-a+2)(λ一a一1)。则λ₁=a，λ₂=a一2，λ₃=a+1。 (Ⅱ)方法一：若规范形为y₁²+y₂²，说明有两个特征值为正，一个为0。则由于a一2＜a＜a+1，所以a一2=0，即a=2。方法二：由于f的规范形为y₁²+y₂²，所以A合同于[*]，其秩为2，故｜A｜=λ₁，λ₂，λ₃=0，于是a=0或a=一1或a=2。当a=0时，λ₁=0，λ₂=1，λ₃=一2，此时f的规范形为y₁²-y₂²，不合题意。当a=一1时，λ₁=一1，λ₂=0，λ₃=一3，此时f的规范形为一y₁²-y₂²，不合题意。当a=2时，λ₁=2，λ₂=3，λ₃=0，此时f的规范形为y₁²+y₂²。综上可知，a=2。

解析

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考研数学三

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已知三元二次型xTz的平方项系数都为0，α=（1，2，一1）T满足Aα=2α．①求xTAx的表达式．②求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

已知f(x)=是连续函数，求a，b的值．

设A是秩为n－1的n阶矩阵，α1，α2是方程组Ax=0的两个不同的解向量，则Ax=0的通解必定是()

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，χ1，χ2是分别属于λ1和λ2的特征向量．证明：χ1+χ2不是A的特征向量．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，－1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．

设随机变量X服从参数λ=的指数分布，令Y=min(X，2)，求随机变量Y的分布函数F(y)．

已知总体X与Y相互独立且都服从标准正态分布，X1，…，X8和Y1，…，Y9是分别来自总体X与Y的两个简单随机样本，其均值分别为，求证：服从参数为15的t分布．

已知随机变量X服从参数为1的指数分布，Y服从标准正态分布，X与Y独立．现对X进行n次独立重复观察，用Z表示观察值大于2的次数，求T=Y+Z的分布函数FT(t)．

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