设η1，η1，…，ηk是向量子空间V的一个规范正交基，α1，α2∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ1，γ2．证明： (1)内积(α1，α2)=(γ1，γ2)． (2)||αi|| =||γi||，i=1，2．

admin2017-08-07 39

问题设η₁，η₁，…，η_k是向量子空间V的一个规范正交基，α₁，α₂∈V，它们在此基下的坐标分别为k维实向量γ₁，γ₂．证明：
(1)内积(α₁，α₂)=(γ₁，γ₂)．
(2)||α_i|| =||γ_i||，i=1，2．

选项

答案(1)设γ_i=(c_i1,c_i2…，c_ik)^T，则α_i=c_i1η₁+c_i2η₂+…+c_ikη_k，i=1，2．于是 (α₁，α₂) =(c₁₁η₁+c₁₂η₂+…+c_1kη_k，c₂₁η₁+c₂₂η₂+…+c_2kη_k) =c₁₁c₂₁+c₁₂c₂₂+…+c_1kc_2k=(γ₁，γ₂)． (2)当α₁=α₂时，用(1)得||α_i||²=||γ_i||²，从而||α_i||=||γ_i||,i=1，2．

解析

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