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  3. 设四元齐次线性方程组(I)为且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=[2，－1，a+2，1]T， α2=[－1，2，4，a+8]T． 当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出

设四元齐次线性方程组(I)为且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为 α1=[2，－1，a+2，1]T， α2=[－1，2，4，a+8]T． 当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出

admin2019-08-06  107
问题 设四元齐次线性方程组(I)为且已知另一四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为
               α1=[2，－1，a+2，1]T，  α2=[－1，2，4，a+8]T．
当a为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)有非零公共解?在有非零公共解时，求出全部非零公共解．
选项
答案解一 将方程组(Ⅱ)的通解c1α1+c2α2代入方程组(I)，为使c1α1+c2α2也是方程组(I)的解(从而是方程组(I)和方程组(Ⅱ)的公共解)，c1，c2应满足的条件为 －(a+1)c1=0， (a+1)(c1－c2)=0． 于是当a+1≠0时，必有c1与c2为零，此时没有非零公共解． 当a+1=0即a=-1时，c1，c2为任何不全为零的实数，c1α1+c2α2都是非零公共解，从而方程组(I)和方程组(Ⅱ)有非零公共解，它们是 c1α1+c2α2=c1[2，－1，1，1]T+c2[－1，2，4，7]T， c1，c2不全为零． 解二 设方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为η，则有数k1，k2，k3，k4，使得 η=k1β1+k2β2=k3α1+k4α2． ① 由此得方程组 [*] 对方程组(Ⅲ)的系数矩阵作初等行变换，得到 [*] 由此可知，当a≠－1时，秩(A)=4，方程组(Ⅲ)仅有零解，方程组(I)和方程组(Ⅱ)没有非零公共解． 当a=一1时，秩(A)=2<4，方程组(Ⅲ)有非零解，且其一个基础解系为 [k1，k2，k3，k4]T=c1[2，－1，1，0]T+c2[－1，2，0，1]T=[2c1－c2，2c2－c1，c1，c2]T， 故k1=2c1－c2，k2=2c2－c1，k3=c1，k4=c2(c1，c2不全为零)．将其代入式①得到方程组(I) 和方程组(Ⅱ)的非零公共解为 η=k1β1+k2β2=k3α1+k4α2=[2c1－c2，2c2－c1，c1+4c2，c1+7c2]T (c1，c2不全为零)．
解析
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考研数学三

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