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设α,β是3维单位正交列向量,则二次型f(x1,x2,x3)=xT(2ααT+ββT)x的规范形为( )
设α,β是3维单位正交列向量,则二次型f(x1,x2,x3)=xT(2ααT+ββT)x的规范形为( )
admin
2022-06-09
23
问题
设α,β是3维单位正交列向量,则二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
(2αα
T
+ββ
T
)x的规范形为( )
选项
A、y
1
2
+y
2
2
B、y
1
2
+y
2
2
-y
3
2
C、y
1
2
-y
2
2
D、y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
答案
A
解析
由(2αα
T
+ββ
T
)
T
=2αα
T
+ββ
T
,知2αα
T
+ββ
T
是实对称矩阵,又
Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α(α
T
α)+β(β
T
α)=2α,
Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2α(α
T
β)+β(β
T
β)=β
知A有特征值λ
1
=2,λ
2
=1
又αα
T
,ββ
T
的秩均为1,所以
r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(αα
T
)+r(ββ
T
)=2<3,
则|A|=0=λ
1
λ
2
λ
3
=2×1×λ
3
,故λ
3
=0,即知正惯性指数为p=2,负惯性指数q=0,故A正确
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