2. 考研
  3. 设α，β是3维单位正交列向量，则二次型f(x1，x2，x3)＝xT(2ααT＋ββT)x的规范形为( )

设α，β是3维单位正交列向量，则二次型f(x1，x2，x3)＝xT(2ααT＋ββT)x的规范形为( )

admin2022-06-09  23
问题 设α，β是3维单位正交列向量，则二次型f(x1，x2，x3)＝xT(2ααT＋ββT)x的规范形为(          )
选项 A、y12＋y22
B、y12＋y22－y32  
C、y12－y22
D、y12－y22－y32
答案A
解析 由(2ααT＋ββT)T＝2ααT＋ββT，知2ααT＋ββT是实对称矩阵，又
Aα＝(2ααT＋ββT)α＝2α(αTα)＋β(βTα)＝2α，
Aβ＝(2ααT＋ββT)β＝2α(αTβ)＋β(βTβ)＝β
知A有特征值λ1＝2，λ2＝1
又ααT，ββT的秩均为1，所以
r(A)＝r(2ααT＋ββT)≤r(ααT)＋r(ββT)＝2＜3，
则｜A｜＝0＝λ1λ2λ3＝2×1×λ3，故λ3＝0，即知正惯性指数为p＝2，负惯性指数q＝0，故A正确
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考研数学二

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