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设α，β是3维单位正交列向量，则二次型f(x1，x2，x3)＝xT(2ααT＋ββT)x的规范形为( )
设α，β是3维单位正交列向量，则二次型f(x1，x2，x3)＝xT(2ααT＋ββT)x的规范形为( )
admin
2022-06-09
84
问题
设α，β是3维单位正交列向量，则二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)＝x
T
(2αα
T
＋ββ
T
)x的规范形为( )
选项
A、y
1
2
＋y
2
2
B、y
1
2
＋y
2
2
－y
3
2
C、y
1
2
－y
2
2
D、y
1
2
－y
2
2
－y
3
2
答案
A
解析
由(2αα
T
＋ββ
T
)
T
＝2αα
T
＋ββ
T
，知2αα
T
＋ββ
T
是实对称矩阵，又
Aα＝(2αα
T
＋ββ
T
)α＝2α(α
T
α)＋β(β
T
α)＝2α，
Aβ＝(2αα
T
＋ββ
T
)β＝2α(α
T
β)＋β(β
T
β)＝β
知A有特征值λ
1
＝2，λ
2
＝1
又αα
T
，ββ
T
的秩均为1，所以
r(A)＝r(2αα
T
＋ββ
T
)≤r(αα
T
)＋r(ββ
T
)＝2＜3，
则｜A｜＝0＝λ
1
λ
2
λ
3
＝2×1×λ
3
，故λ
3
＝0，即知正惯性指数为p＝2，负惯性指数q＝0，故A正确
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