2. 考研
  3. 设f(x，y)，φ(x，y)在点P0(x0，y0)的某邻域有连续的一阶偏导数且φ’y(x0，y0)≠0．若P0(x0，y0)是二元函数z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则 证明条件极值点的必要条件，并说明几何意义．

设f(x，y)，φ(x，y)在点P0(x0，y0)的某邻域有连续的一阶偏导数且φ’y(x0，y0)≠0．若P0(x0，y0)是二元函数z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则 证明条件极值点的必要条件，并说明几何意义．

admin2020-03-16  103
问题 设f(x，y)，φ(x，y)在点P0(x0，y0)的某邻域有连续的一阶偏导数且φ’y(x0，y0)≠0．若P0(x0，y0)是二元函数z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则

证明条件极值点的必要条件，并说明几何意义．
选项
答案由所设条件，φ(x，y)=0在x=x0的某邻域确定隐函数y=y(x)满足y0=y(x0)，于是P0(x0，y0)是z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点[*]z=f(x，y(x))在x=x0取极值 [*]f’x(x0，y0)+f’y(x0，y0)y’(x0)=0． ① 又由φ(x，y(x))=0，两边求导得 φ’x(x0，y0)+φ’y(x0，y0)y’(x0)=0，解得y’(x0)=-φ’x(x0，y0)／φ’y(x0，y0)． ② 将②式代入①式得f’x(x0，y0)-f’y(x0，y0)φ’x(x0，y0)／φ’y(x0，y0)=0． 因此 [*] 在Oxy平面上看，φ(x，y)=0是一条曲线，它在P0(x0，y0)的法向量是(φ’x(P0)，φ’y(P0))，而f(x，y)=f(x0，y0)是一条等高线，它在P0的法向量是(f’x(P0)，f’y(P0))，(7．9)式表示这两个法向量平行，于是曲线φ(x，y)=0与等高线f(x，y)=f(P0)在点P0处相切．
解析
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考研数学二

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