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设f(x,y),φ(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域有连续的一阶偏导数且φ’y(x0,y0)≠0.若P0(x0,y0)是二元函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,则 证明条件极值点的必要条件,并说明几何意义.
设f(x,y),φ(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域有连续的一阶偏导数且φ’y(x0,y0)≠0.若P0(x0,y0)是二元函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,则 证明条件极值点的必要条件,并说明几何意义.
admin
2020-03-16
74
问题
设f(x,y),φ(x,y)在点P
0
(x
0
,y
0
)的某邻域有连续的一阶偏导数且φ’
y
(x
0
,y
0
)≠0.若P
0
(x
0
,y
0
)是二元函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,则
证明条件极值点的必要条件,并说明几何意义.
选项
答案
由所设条件,φ(x,y)=0在x=x
0
的某邻域确定隐函数y=y(x)满足y
0
=y(x
0
),于是P
0
(x
0
,y
0
)是z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点[*]z=f(x,y(x))在x=x
0
取极值 [*]f’
x
(x
0
,y
0
)+f’
y
(x
0
,y
0
)y’(x
0
)=0. ① 又由φ(x,y(x))=0,两边求导得 φ’
x
(x
0
,y
0
)+φ’
y
(x
0
,y
0
)y’(x
0
)=0,解得y’(x
0
)=-φ’
x
(x
0
,y
0
)/φ’
y
(x
0
,y
0
). ② 将②式代入①式得f’
x
(x
0
,y
0
)-f’
y
(x
0
,y
0
)φ’
x
(x
0
,y
0
)/φ’
y
(x
0
,y
0
)=0. 因此 [*] 在Oxy平面上看,φ(x,y)=0是一条曲线,它在P
0
(x
0
,y
0
)的法向量是(φ’
x
(P
0
),φ’
y
(P
0
)),而f(x,y)=f(x
0
,y
0
)是一条等高线,它在P
0
的法向量是(f’
x
(P
0
),f’
y
(P
0
)),(7.9)式表示这两个法向量平行,于是曲线φ(x,y)=0与等高线f(x,y)=f(P
0
)在点P
0
处相切.
解析
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0
考研数学二
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