设f(x,y),φ(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域有连续的一阶偏导数且φ’y(x0,y0)≠0.若P0(x0,y0)是二元函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,则 证明条件极值点的必要条件,并说明几何意义.

admin2020-03-16  48

问题 设f(x,y),φ(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域有连续的一阶偏导数且φ’y(x0,y0)≠0.若P0(x0,y0)是二元函数z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,则

证明条件极值点的必要条件,并说明几何意义.

选项

答案由所设条件,φ(x,y)=0在x=x0的某邻域确定隐函数y=y(x)满足y0=y(x0),于是P0(x0,y0)是z=f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点[*]z=f(x,y(x))在x=x0取极值 [*]f’x(x0,y0)+f’y(x0,y0)y’(x0)=0. ① 又由φ(x,y(x))=0,两边求导得 φ’x(x0,y0)+φ’y(x0,y0)y’(x0)=0,解得y’(x0)=-φ’x(x0,y0)/φ’y(x0,y0). ② 将②式代入①式得f’x(x0,y0)-f’y(x0,y0)φ’x(x0,y0)/φ’y(x0,y0)=0. 因此 [*] 在Oxy平面上看,φ(x,y)=0是一条曲线,它在P0(x0,y0)的法向量是(φ’x(P0),φ’y(P0)),而f(x,y)=f(x0,y0)是一条等高线,它在P0的法向量是(f’x(P0),f’y(P0)),(7.9)式表示这两个法向量平行,于是曲线φ(x,y)=0与等高线f(x,y)=f(P0)在点P0处相切.

解析
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