2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续且单调增，证明： ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b-a)∫abf(x)g(x)dx．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续且单调增，证明： ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b-a)∫abf(x)g(x)dx．

admin2016-09-13  50
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续且单调增，证明：
∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b-a)∫abf(x)g(x)dx．
选项
答案设I=(b－a)∫abf(x)g(x)dx－∫abf(x)dx∫abg(x)dx =∫abdy∫abf(x)g(x)dx－∫abf(x)dx∫abg(y)dy =[*]f(x)g(x)dxdy－[*]f(x)g(y)dxdy =[*]f(x)[g(x)－g(y)]dxdy． 其中D：a≤x≤b，a≤y≤b．因为D关于y=x对称，所以 I=[*]f(y)[g(y)－g(x)]dxdy， 故2I=[*][f(x)－f(y)].[g(x)－g(y)]dxdy． 由f(x)，g(x)在[a，b]上单调递增，得2I≥0，即I≥0，故 ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b－a)∫abf(x)g(x)dx．
解析
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考研数学三

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