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设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续且单调增,证明: ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b-a)∫abf(x)g(x)dx.
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续且单调增,证明: ∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b-a)∫abf(x)g(x)dx.
admin
2016-09-13
73
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续且单调增,证明:
∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(x)dx≤(b-a)∫
a
b
f(x)g(x)dx.
选项
答案
设I=(b-a)∫
a
b
f(x)g(x)dx-∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(x)dx =∫
a
b
dy∫
a
b
f(x)g(x)dx-∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(y)dy =[*]f(x)g(x)dxdy-[*]f(x)g(y)dxdy =[*]f(x)[g(x)-g(y)]dxdy. 其中D:a≤x≤b,a≤y≤b.因为D关于y=x对称,所以 I=[*]f(y)[g(y)-g(x)]dxdy, 故2I=[*][f(x)-f(y)].[g(x)-g(y)]dxdy. 由f(x),g(x)在[a,b]上单调递增,得2I≥0,即I≥0,故 ∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(x)dx≤(b-a)∫
a
b
f(x)g(x)dx.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/03T4777K
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考研数学三
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