2. 考研
  3. 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：χ＝t＋e-t，y＝2t＋e-2t(t≥0)． (Ⅰ) 证明该参数方程确定连续函数y＝y(χ)，χ∈[1，＋∞)． (Ⅱ) 证明y＝y(χ)在[1，＋∞)单调上升且是凸的． (Ⅲ) 求y＝

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：χ＝t＋e-t，y＝2t＋e-2t(t≥0)． (Ⅰ) 证明该参数方程确定连续函数y＝y(χ)，χ∈[1，＋∞)． (Ⅱ) 证明y＝y(χ)在[1，＋∞)单调上升且是凸的． (Ⅲ) 求y＝

admin2017-11-21  27
问题 已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：χ＝t＋e-t，y＝2t＋e-2t(t≥0)．
    (Ⅰ)  证明该参数方程确定连续函数y＝y(χ)，χ∈[1，＋∞)．
    (Ⅱ)  证明y＝y(χ)在[1，＋∞)单调上升且是凸的．
    (Ⅲ)  求y＝y(χ)的渐近线．
选项
答案(Ⅰ)因为χ′t＝1－e-t＞0(t＞0)，χ′t(0)＝0[*]χ＝t＋e-t在[0，＋∞)单调上升，值域为[χ(0)，[*]χ(t)]＝[1，＋∞)[*]＝t＋e-t在[0，＋∞)存在反函数，记为t＝t(χ)，它在[1，＋∞)连续(单调连续函数的反函数连续)．再由连续的复合函数的连续性[*]y＝2t(χ)＋e-2t(χ)[*]y(χ)在[1，＋∞)连续． (Ⅱ)由参数式求导法 [*]＝2(1＋e-t)＞0(t＞0，即χ＞1) 于是y＝y(χ)在[1，＋∞)单调上升．又 [*] 因此y＝y(χ)在[1，＋∞)是凸的． (Ⅲ)χ→＋∞[*]t→＋∞ [*] 又因y＝y(χ)在[1，＋∞)连续，所以y＝y(χ)只有一条渐近线y＝2χ．
解析
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考研数学二

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