2. 考研
  3. 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1)T满足Aα=2α． (Ⅰ)求xTAx的表达式． (Ⅱ)求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1)T满足Aα=2α． (Ⅰ)求xTAx的表达式． (Ⅱ)求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．

admin2017-11-23  67
问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，一1)T满足Aα=2α．
    (Ⅰ)求xTAx的表达式．
    (Ⅱ)求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型．
选项
答案①设 [*] 则条件Aα=2α即 [*] 得2a一b=2，a一c=4，b+2c=一2，解出a=b=2，c=一2． 此二次型为4x1x2+4x1x3—4x2x3． ②先求A特征值 [*] 于是A的特征值就是2，2，一4． 再求单位正交特征向量组 属于2的特征向量是(A一2E)X=0的非零解． [*] 得(A一2E)x=0的同解方程组：x1一x2一x3=0． 显然β1=(1，1，0)T是一个解，设第二个解为β2=(1，一1，c)T(这样的设定保证了两个解 是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化： 记η1=β1/｜｜β1｜｜=[*]β1，η2=β2/｜｜β2｜｜=[*]β2． 属于一4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解． 求出β3=(1，一1，一1)T是一个解，单位化： 记η3=β3／｜｜β3｜｜=[*]β3． 则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，一4． 作正交矩阵Q=(η1，η2，η3)，则Q-1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，一4． 作正交变换x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22—4y32．
解析
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考研数学一

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