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(2010年真题)设向量组S={α1,α2,α3}线性无关,下列向量组中,与S等价的有[ ]个。 ①α1-α3,α2-α3 ②α1,α1+α2,α1+α2+α3 ③α1-α3,α1+α3,2α1,3α3 ④α1-α3,α1+α3,2α2,3α3
(2010年真题)设向量组S={α1,α2,α3}线性无关,下列向量组中,与S等价的有[ ]个。 ①α1-α3,α2-α3 ②α1,α1+α2,α1+α2+α3 ③α1-α3,α1+α3,2α1,3α3 ④α1-α3,α1+α3,2α2,3α3
admin
2015-04-14
71
问题
(2010年真题)设向量组S={α
1
,α
2
,α
3
}线性无关,下列向量组中,与S等价的有[ ]个。
①α
1
-α
3
,α
2
-α
3
②α
1
,α
1
+α
2
,α
1
+α
2
+α
3
③α
1
-α
3
,α
1
+α
3
,2α
1
,3α
3
④α
1
-α
3
,α
1
+α
3
,2α
2
,3α
3
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
B
解析
本题考查了向量组等价的性质,利用结论“设向量组S
1
向量组S
2
等价,则它们的秩相等,即r(S
1
)=r(S
2
)。”
由此结论可得:若r(S
1
)≠r(S
2
),则向量组S
1
与向量组S
2
不等价,①,②,③,④中的向量都可由向量组S表示,又α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以向量组S的秩等于3。向量组①含两个向量,它的秩最大是2,向量组③中的α
1
-α
3
和α
1
+α
3
可由向量组③中的2α
1
及3α
3
表示,所以它的秩是2,因此向量组①和向量组③都不可能与向量组S={α
1
,α
2
,α
3
}等价。对于向量组②,设β
1
=α
1
,β
2
=α
1
+α
3
,β
3
=α
1
+α
2
+α
3
,于是有(β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)
因
可逆,于是有(α
1
,α
2
,α
3
)=(β
1
,β
2
,β
3
)
从而可得α
1
,α
2
,α
3
与β
1
,β
2
,β
3
可以相互线性表示,因此向量组②与向量组S等价。
对于向量组④,设β
1
=α
1
-α
3
,β
2
-α
1
+α
3
,β
3
=2α
2
,β
4
=3α
3
,易得α
1
=
,α
2
,α
3
=
,这表明α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性表示,从而可得α
1
,α
2
,α
3
与β
1
,β
2
,β
3
,β
4
可以相互线性表示,因此,向量组④与向量组S等价。故正确选项为B。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/09pi777K
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