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证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
admin
2016-05-31
51
问题
证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=U
T
U,即A与单位阵E合同.
选项
答案
必要性:因为对称阵A为正定的,所以存在正交矩阵P使P
T
AP=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=A,即A=PAP
T
,其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的全部特征值,A是正定矩阵,λ
1
,λ
2
,…,λ
n
均为正数.令A=diag[*] 再令U=[*],则U可逆,且A=U
T
U故A与单位矩阵合同. 充分性:若存在可逆矩阵U,使A=U
T
U,则对任意的x∈R
n
且x≠0,有||Ux||
2
>0,即 f(x)=x
T
Ax=x
T
U
T
Ux=||Ux||
2
>0, 矩阵A是正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0LT4777K
0
考研数学三
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