设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线l：y(x)上的任意一点。l在P处的切线与y轴相交于点(0，Yp)，法线与x轴相交于点(Xp，0)，若Xp=Yp，求l上点的坐标(x，y)满足的方程。

admin2018-04-14 193

问题设y(x)是区间(0，3／2)内的可导函数，且y(1)=0，点P是曲线l：y(x)上的任意一点。l在P处的切线与y轴相交于点(0，Y_p)，法线与x轴相交于点(X_p，0)，若X_p=Y_p，求l上点的坐标(x，y)满足的方程。

选项

答案设点P处的切线为Y－y=y’(X－x)，则法线为Y－y=－1／y’(X－x)。令X=0得Y_p=y－y’x，令Y=0得X_p=x+yy’。由Y_p=X_p得，y－xy’=x+yy’，即([*]－1。令y／x=u，则 [*] 那么 (u+1)(x[*]+u)=u－1，即∫[*]du=－∫dx／x，解得1／2ln(u²+1)+arctanu=－lnx+C，即 [*] 已知y(1)=0，所以C=0。

解析

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