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设f(x)=∫—1xt|t|dt(x≥—1),求曲线y=f(x)与x轴围成的封闭图形的面积。
设f(x)=∫—1xt|t|dt(x≥—1),求曲线y=f(x)与x轴围成的封闭图形的面积。
admin
2018-12-29
70
问题
设f(x)=∫
—1
x
t|t|dt(x≥—1),求曲线y=f(x)与x轴围成的封闭图形的面积。
选项
答案
因为t|t|为奇函数,所以其原函数 f(x)=∫
—1
x
t|t|dt=∫
—1
0
t|t|dt+∫
0
x
t|t|dt 为偶函数,则由f(—1)=0,得f(1)=0,即y=f(x)与x轴有交点(—1,0),(1,0)。 又由f′(x)=x|x|,可知x<0时,f′(x)<0,故f(x)单调减少,从而f(x)<f(—1)=0(—1<x≤0);当x>0时,f′(x)=x|x|>0,故f(x)单调增加,且y=f(x)与x轴有一交点(1,0)。综上,y=f(x)与x轴交点仅有两个。 所以封闭图形的面积 A=∫
—1
1
|f(x)|dx=2∫
—1
0
|f(x)|dx。 当x<0时,f(x)=∫
—1
x
t|t|dt=∫
—1
x
—t
2
dt= —[*](1+x
3
),因此 [*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0TM4777K
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考研数学一
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