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  3. 设f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥—1)，求曲线y=f(x)与x轴围成的封闭图形的面积。

设f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥—1)，求曲线y=f(x)与x轴围成的封闭图形的面积。

admin2018-12-29  49
问题 设f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥—1)，求曲线y=f(x)与x轴围成的封闭图形的面积。
选项
答案因为t｜t｜为奇函数，所以其原函数 f(x)=∫—1xt｜t｜dt=∫—10t｜t｜dt+∫0xt｜t｜dt 为偶函数，则由f(—1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(—1，0)，(1，0)。 又由f′(x)=x｜x｜，可知x＜0时，f′(x)＜0，故f(x)单调减少，从而f(x)＜f(—1)=0(—1＜x≤0)；当x＞0时，f′(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，且y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。 所以封闭图形的面积 A=∫—11｜f(x)｜dx=2∫—10｜f(x)｜dx。 当x＜0时，f(x)=∫—1xt｜t｜dt=∫—1x—t2dt= —[*](1+x3)，因此 [*]。
解析
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考研数学一

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