设f(x)=∫—1xt｜t｜dt(x≥—1)，求曲线y=f(x)与x轴围成的封闭图形的面积。

admin2018-12-29 66

问题设f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt(x≥—1)，求曲线y=f(x)与x轴围成的封闭图形的面积。

选项

答案因为t｜t｜为奇函数，所以其原函数 f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt=∫_—1⁰t｜t｜dt+∫₀^xt｜t｜dt 为偶函数，则由f(—1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(—1，0)，(1，0)。又由f′(x)=x｜x｜，可知x＜0时，f′(x)＜0，故f(x)单调减少，从而f(x)＜f(—1)=0(—1＜x≤0)；当x＞0时，f′(x)=x｜x｜＞0，故f(x)单调增加，且y=f(x)与x轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与x轴交点仅有两个。所以封闭图形的面积 A=∫_—1¹｜f(x)｜dx=2∫_—1⁰｜f(x)｜dx。当x＜0时，f(x)=∫_—1^xt｜t｜dt=∫_—1^x—t²dt= —[*](1+x³)，因此 [*]。

解析

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考研数学一

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