(97年)设 则3条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)交于一点的充要条件是

admin2017-04-20  34

问题 (97年)设

则3条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)交于一点的充要条件是

选项 A、α1,α2,α3线性相关.
B、α1,α2,α3线性无关.
C、秩r(α1,α2,α3)=秩r(α1,α2).
D、α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关.

答案D

解析 考虑由3条直线的方程联立所得的线性方程组

3条直线交于一点,也就是方程组(I)有唯一解.
若α3=0,则α1,α2,α3线性相关且方程组(I)有零解,由二元齐次线性方程组只有零解的充要条件(系数矩阵的秩等于未知量个数),得r(α1,α2)=2,故此时只有(D)正确.
若α3≠0,则(I)为一非齐次线性方程组,由非齐次线性方程组有唯一解的充要条件(系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=未知量个数),得r(α1,α2)=r(α1  α2  一α3)=2,即α1,α2线性无关,而α1,α2,α3线性相关.故只有(D)正确.
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