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  3. 设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3，经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，P是3阶正交矩阵，试求常数α、β．

设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3，经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，P是3阶正交矩阵，试求常数α、β．

admin2022-09-14  117
问题 设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3，经正交变换x=Py化成f=y22+2y32，P是3阶正交矩阵，试求常数α、β．
选项
答案变换前后二次型的矩阵分别为[*] 二次型可以写成f=xTAx和f=yTBy，。由于pTAp=B，P为正交矩阵，故P-1AP=B，因此｜λE-A｜=｜λE-B｜，即[*] λ3-3Aλ2+(2-a2-β3)λ+(a-β)2=λ3-3λ2+2λ，比较系数得a=β=0．
解析
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考研数学二

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