设连续函数f(χ)满足f(χ)＝∫02χf()dt＋eχ，则f(χ)＝_______．

admin2020-03-10 44

问题设连续函数f(χ)满足f(χ)＝∫₀^2χf(

)dt＋e^χ，则f(χ)＝_______．

选项

答案2e^2χ－e^χ

解析 ∫₀^2χf(

)dt＝2∫₀^χf(t)dt，则f(χ)＝∫₀^2χf(

)dt＋e^χ可化为
f(χ)＝2∫₀^χf(t)dt＋e^χ，两边求导得f′(χ)－2f(χ)＝e^χ，解得
f(χ)＝[∫e^χ.e^∫－2dχdχ＋C]e^{－∫－2dχ}＝(－e^－χ＋C)e^2χ＝Ce^2χ－e^χ，
因为f(0)＝1，所以f(0)＝C－1＝1，C＝2，于是f(χ)＝2e^2χ－e^χ．

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