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[2013年] 设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt则( ).
[2013年] 设函数f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt则( ).
admin
2019-04-05
57
问题
[2013年] 设函数f(x)=
F(x)=∫
0
x
f(t)dt则( ).
选项
A、x=π是函数F(x)的跳跃间断点
B、x=π是函数F(x)的可去间断点
C、F(x)在x=π处连续但不可导
D、F(x)在x=π处可导
答案
C
解析
先求出F(x),然后讨论F(x)的性质.
解一 当0≤x<π时,F(x)=∫
0
x
f(t)dt=∫
0
x
sintdt=1—cosx;
当π≤x≤2π时,F(x)=∫
0
x
f(t)dt=∫
0
π
sintdt+∫
π
x
2dt=2+2(x一π).
综上所述, F(x)=
因 F(π一0)=
(1一cosπ)=2, F(π+0)=
[2+2(x一π)]=2,
故F(π一0)=F(π+0),所以F(x)在x=π处连续,但不可导,这是因为
F′
-
(x)=
=0
F′
+
(z=x)=
[2+2(x一π)]′=2,
所以F′
-
(π一0)≠F′+(π+0),仅(C)入选.
解二 因只有x=π为f(x)的跳跃间断点,故f(x)在[0,2π]上可积.再由命题1.3.3.3可知F(x)=∫
0
x
f(t)dt在x=π处连续,但不可导.仅(C)入选.
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0
考研数学二
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