设A为n阶非零矩阵，且A2=A,r(A)=r(0＜r＜n)，求｜5E+A｜.

admin2021-11-25 32

问题设A为n阶非零矩阵，且A²=A,r(A)=r(0＜r＜n)，求｜5E+A｜.

选项

答案因为A²=A→A(E－A)=O→r(A)+r(E－A)=n→A,可以对角化。由A²=A,得｜A｜·｜E－A｜=0,所以矩阵A的特征值为λ=0或1 因为r(A)=r且0＜r＜n，所以0和1都为A的特征值，且λ=1为r重特征值，λ=0为n－r重特征值。所以5E+A的特征值为λ=6(r重)，λ=5(n－r重),故｜5E+A｜=5^n-r×6^r.

解析

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