设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1，a2则a1，A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( )．

admin2020-02-28 80

问题设λ₁，λ₂是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a₁，a₂则a₁，A(a₁+a₂)线性无关的充分必要条件是( )．

选项 A、λ₁=0
B、λ₂=0
C、λ₁≠0
D、λ₂≠0

答案D

解析由题意可知A(a₁+a₂)=Aa₁+Aa₂=λ₁a₁+λ₂a₂，
于是a₁，A(a₁+a₂)线性无关

k₁a₁+k₂A(a₁+a₂)=0，k₁，k₂恒为0．

(k₁+λ₁k₂)a₁+λ₂k₂a₂=0，k₁，k₂恒为0．
又因为不同特征值的特征向量线性无关，故a₁，a₂线性无关，
于是

k₁，k₂恒为0．
齐次方程组

只有零解

，λ₂≠0，故选(D)．

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考研数学二

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