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  3. 对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量 试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．

对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量 试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．

admin2016-09-19  49
问题 对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量

试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．
选项
答案记Pi=P(Ai)(i=1，2)，p12=P(A1A2)，而ρ是X1和X2的相关系数．易见，随机变量X1和X2都服从0-1分布，并且 P｛Xi=1｝=P(Ai)，P｛Xi=0｝=P([*])，P｛X1=1，X2=1｝=P(A1A2)． (1)必要性．设随机变量X1和X2独立，则 P(A1A2)=P{X1=1，X2=1}=P｛X1=1｝P(X2=1)=P(A1)P(A2)． 从而，事件A1和A2相互独立． (2)充分性．设事件A1和A2相互独立，则[*]和A2，A1和[*]也都独立，故 P{X1=0，X2=0}=[*] =P｛X1=0｝P｛X20｝， P｛X1=0，X2=1｝=[*] =P｛X1=0｝P｛X2=1｝， P｛X1=1，X2=0｝=[*] =P｛X1=1｝P｛X2=0｝， P｛X1=1，X2=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2) =P｛X1=1｝P｛X2=1｝． 从而，随机变量X1和X2相互独立．
解析
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考研数学三

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