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设A为3阶矩阵,|A|=6,|A+E|=|A一2E|=|A+3E|=0,试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵,其中(2A)*是(2A)的伴随矩阵.
设A为3阶矩阵,|A|=6,|A+E|=|A一2E|=|A+3E|=0,试判断矩阵(2A)*是否相似于对角矩阵,其中(2A)*是(2A)的伴随矩阵.
admin
2019-07-22
81
问题
设A为3阶矩阵,|A|=6,|A+E|=|A一2E|=|A+3E|=0,试判断矩阵(2A)
*
是否相似于对角矩阵,其中(2A)
*
是(2A)的伴随矩阵.
选项
答案
由条件有,|一E一A|= (一1)
3
|E+A|=0,|2E一A|一(一1)
3
×|一2E+A|=0,|一3E一A|= (一1)
3
|3E+A|=0,[*]A有特征值一1,2,一3,从而是A的全部特征值,A
一1
的全部特征值为一1,[*]而(2A)
*
=|2A|(2A)
一1
=2
3
|A|[*]A
一1
= 24A
一1
,[*](2A)
*
=24A
一1
的全部特征值为一24 ,12,一8,因3阶方阵(2A)
*
有3个互不相同特征值,故(2A)
*
可相似对角化.
解析
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考研数学二
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