设A为3阶矩阵，|A|=6，|A+E|=|A一2E|=|A+3E|=0，试判断矩阵(2A)是否相似于对角矩阵，其中(2A)是(2A)的伴随矩阵．

admin2019-07-22 56

问题设A为3阶矩阵，|A|=6，|A+E|=|A一2E|=|A+3E|=0，试判断矩阵(2A)^*是否相似于对角矩阵，其中(2A)^*是(2A)的伴随矩阵．

选项

答案由条件有，|一E一A|= (一1)³|E+A|=0，|2E一A|一(一1)³×|一2E+A|=0，|一3E一A|= (一1)³|3E+A|=0，[*]A有特征值一1，2，一3，从而是A的全部特征值，A^一1的全部特征值为一1，[*]而(2A)^*=|2A|(2A)^一1=2³|A|[*]A^一1= 24A^一1，[*](2A)^*=24A^一1的全部特征值为一24 ，12，一8，因3阶方阵(2A)^*有3个互不相同特征值，故(2A) ^*可相似对角化．

解析

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