求(x,y,z)=2x+2v—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.

admin2017-11-22  50

问题 求(x,y,z)=2x+2v—z2+5在区域Ω:x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值.

选项

答案f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续,一定存在最大、最小值. 第一步,先求f(x,y,z)在Ω内的驻点. 由[*]=2知f(x,y,z)在Ω内无驻点,因此f(x,y,z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到. 第二步,求f(x,y,z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值,即求f(x,y,z)在条件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值. 令F(x,y,z,λ)=2x+2y— z2+5+λ(x2+y2+z2—2),解方程组 [*] 由①,②知x=y,由③知z=0或λ=1.由x=y,z=0 代入④知x=y=±1,z=0.当λ=1时由①,②,④也得x=y=—1,z=0.因此得驻点P1(—1,—1,0)与P2(1,1,0). 计算得知f(P1)=1,f(P2)=9. 因此,f(x,y,z)在Ω的最大值为9,最小值为1.

解析
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