如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个极点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx。

admin2018-04-14  63

问题 如图,曲线C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个极点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx。

选项

答案由题设图形知, f(0)=0,f’(0)=2;f(3)=2,f’(3)=-2,f"(3)=0。 由分部积分法,知 ∫03(x2+x)f"’(x)dx=∫03(x2+x)d[f"(x)]=(x2+x)f"(x)|03-∫03f"(x)(2x+1)dx =∫03(2x+1)d[f’(x)]=-(2x+1)f’(x)|03+2∫03f’(x)dx =16+2[f(3)-f(0)]=20。

解析
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