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(2000年试题，二)设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )．

admin2013-12-18  50
问题 (2000年试题，二)设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则(    )．
选项 A、f(0)是f(x)的极大值
B、f(0)是f(x)的极小值
C、点(0,f(0))是曲线)，y=(x)的拐点
D、f(0)不是f(x)的极值，点(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
答案C
解析 本题考查极值点及拐点的充分必要条件，由已知f’(0)=0及关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，则x=0是f(x)的驻点，但还不能确定是否为极值点，在已知关系式中令x=0，则f2(0)=0，至此也无法确定x=0点是否为拐点，还需对f’’(0)作进一步分析．将原关系式对戈求导，得f’’(x)=1一2f’(x)f’’(x)，从而f’’(0)=1>0，且由f’’(x)的连续性(由其表达式所决定)知存在δ>0，使x∈(一δ，δ)时，f’’(x)>0，即在此小邻域内f’’(x)严格单调递增，从而f’’(x)在x=0左、右异号，即f’’(x)<0，x∈(一δ，0)；f’’(x)>0，x∈(0，δ)，由此可知x=0是f(x)的拐点，此外由前述，可知，当x∈(-δ，0)时，f’’(x)<0，则f’(c)严格单调递减，而当∈(0，δ)时f’’(x)>0，则f’(x)严格单调递增，已知f’(0)=0，从而当x∈(-δ，0)时f’(x)>0，且当x∈(0，δ)时f’(x)>0，因此x=0两侧f’(x)不变号，因此f(0)并非极值点，综上，选C．
[评注]f(x)在点xo处满足f(k-1)(xo)=0，f(h)(xo)≠0，则当k(k≥2)为偶数时，xo是函数的极值点，当k为奇数时点(xo,xo)是曲线y=f(x)的拐点．
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考研数学二

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