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(2000年试题,二)设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,则( ).
(2000年试题,二)设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,则( ).
admin
2013-12-18
59
问题
(2000年试题,二)设函数f(x)满足关系式f
’’
(x)+[f
’
(x)]
2
=x,且f
’
(0)=0,则( ).
选项
A、f(0)是f(x)的极大值
B、f(0)是f(x)的极小值
C、点(0,f(0))是曲线),y=(x)的拐点
D、f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点
答案
C
解析
本题考查极值点及拐点的充分必要条件,由已知f
’
(0)=0及关系式f
’’
(x)+[f
’
(x)]
2
=x,则x=0是f(x)的驻点,但还不能确定是否为极值点,在已知关系式中令x=0,则f
2
(0)=0,至此也无法确定x=0点是否为拐点,还需对f
’’
(0)作进一步分析.将原关系式对戈求导,得f
’’
(x)=1一2f
’
(x)f
’’
(x),从而f
’’
(0)=1>0,且由f
’’
(x)的连续性(由其表达式所决定)知存在δ>0,使x∈(一δ,δ)时,f
’’
(x)>0,即在此小邻域内f
’’
(x)严格单调递增,从而f
’’
(x)在x=0左、右异号,即f
’’
(x)<0,x∈(一δ,0);f
’’
(x)>0,x∈(0,δ),由此可知x=0是f(x)的拐点,此外由前述,可知,当x∈(-δ,0)时,f
’’
(x)<0,则f
’
(c)严格单调递减,而当∈(0,δ)时f
’’
(x)>0,则f
’
(x)严格单调递增,已知f
’
(0)=0,从而当x∈(-δ,0)时f
’
(x)>0,且当x∈(0,δ)时f
’
(x)>0,因此x=0两侧f
’
(x)不变号,因此f(0)并非极值点,综上,选C.
[评注]f(x)在点x
o
处满足f
(k-1)
(x
o
)=0,f
(h)
(x
o
)≠0,则当k(k≥2)为偶数时,x
o
是函数的极值点,当k为奇数时点(x
o
,x
o
)是曲线y=f(x)的拐点.
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考研数学二
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