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设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交，又(β1，β2)＝3， (Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关； (Ⅱ)令B＝β1β2T，求｜B＋2E｜．
设α1，α2为三维线性无关的列向量组，β1，β2为三维列向量组且都与α1，α2正交，又(β1，β2)＝3， (Ⅰ)证明：α1，α2，β1线性无关，但β1，β2线性相关； (Ⅱ)令B＝β1β2T，求｜B＋2E｜．
admin
2021-03-16
66
问题
设α
1
，α
2
为三维线性无关的列向量组，β
1
，β
2
为三维列向量组且都与α
1
，α
2
正交，又(β
1
，β
2
)＝3，
(Ⅰ)证明：α
1
，α
2
，β
1
线性无关，但β
1
，β
2
线性相关；
(Ⅱ)令B＝β
1
β
2
T
，求｜B＋2E｜．
选项
答案
(Ⅰ)令k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋k
3
β
1
＝0， 由α
1
，α
2
与β
1
正交及(k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋k
3
β
1
，β
1
)＝0得k
3
(β
1
，β
1
)＝0， 再由β
1
为非零向量得(β
1
，β
1
)＝｜β
1
｜
2
＞0，从而k
3
＝0， 于是k
1
α
1
＋k
2
α
2
＝0， 再由α
1
，α
2
线性无关得k
1
＝k
2
＝0，故α
1
，α
2
，β
1
线性无关． 令A＝[*]，则r(A)＝2＜3，齐次线性方程组AX＝0含一个线性无关的解向量， 由Aβ
1
＝0，Aβ
2
＝0得β
1
，β
2
为AX＝0的两个非零解，故β
1
，β
1
线性相关． (Ⅱ)由B
2
＝3B得B的特征值为0和3， 因为λ
1
＋λ
2
＋λ
3
＝tr(B)＝(β
1
，β
2
)＝3，所以B的特征值为0，0，3， 从而B＋2E特征值为2，2，5， 故｜B＋2E｜＝20．
解析
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