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  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b一a)

设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b一a)

admin2020-03-05  60
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b一a)
选项
答案令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=[*]由泰勒公式得F(a)=F(x0)+F’(x0)(a一x0)+[*]，ξ1∈(a，x0)，F(b)=F(x0)+F’(x0)(b一x0)+[*]，ξ2∈(x0，b)，两式相减得F(b)一F(a)=F’(x0)(b一a)+[*][F"’(ξ1)+F"’(ξ2)]，即∫abf(x)dx=[*][f"(ξ1)+f”(ξ2)]，因为f"(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使得f”(ξ)=[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)]，从而∫abf(x)dx=[*]
解析
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考研数学一

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