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设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b一a)
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b一a)
admin
2020-03-05
62
问题
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫
a
b
f(x)dx=(b一a)
选项
答案
令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x
0
=[*]由泰勒公式得F(a)=F(x
0
)+F’(x
0
)(a一x
0
)+[*],ξ
1
∈(a,x
0
),F(b)=F(x
0
)+F’(x
0
)(b一x
0
)+[*],ξ
2
∈(x
0
,b),两式相减得F(b)一F(a)=F’(x
0
)(b一a)+[*][F"’(ξ
1
)+F"’(ξ
2
)],即∫
a
b
f(x)dx=[*][f"(ξ
1
)+f”(ξ
2
)],因为f"(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得f”(ξ)=[*][f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)],从而∫
a
b
f(x)dx=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/10S4777K
0
考研数学一
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