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设a＜b，证明：不等式 [∫abf(x)g(x)dx]≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．
设a＜b，证明：不等式 [∫abf(x)g(x)dx]≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．
admin
2021-11-09
48
问题
设a＜b，证明：不等式
[∫
a
b
f(x)g(x)dx]≤∫
a
b
f
2
(x)dx∫
a
b
g
2
(x)dx．
选项
答案
构造辅助函数 F(x)=[∫
a
t
f(x)g(x)dx]
2
一∫
a
t
f
2
(x)dx∫
a
t
g
2
(x)dx， 则F(a)=0，且 F’(t)=2∫
a
t
f(x)g(x)dx．f(t)g(t)一f
2
(t)∫
a
t
g
2
(x)dx—g
2
(t)∫
a
t
f
2
(x)dxt =∫
a
t
[2f(x)g(x)f(t)g(t)一f
2
(t)g
2
(x)一g
2
(t)f
2
(x)]dx =一∫
a
t
[f(t)g(x)一g(t)f(x)]
2
dx≤0， 所以F(b)≤0，即[∫
a
t
f(x)g(x)dx]
2
一∫
a
t
f
2
(x)dx∫
a
t
g
2
(x)dx≤0，即 [∫
a
t
f(x)g(x)]
2
≤∫
a
t
f
2
(x)dx∫
a
t
g
2
(x)dx．
解析
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考研数学二
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