设f(χ)在[a，b]上二阶可导且f〞(χ)＞0，证明：f(χ)在(a，b)内为凹函数．

admin2019-08-23 88

问题设f(χ)在[a，b]上二阶可导且f〞(χ)＞0，证明：f(χ)在(a，b)内为凹函数．

选项

答案对任意的χ₁，χ₂∈(a，b)且χ₁≠χ₂，取χ₀＝[*]，由泰勒公式得 f(χ)＝f(χ₀)＋f′(χ₀)(χ－χ₀)＋[*](χ－χ₀)²，其中ξ介于χ₀与χ之间．因为f〞(χ)＞0，所以f(χ)≥f(χ₀)＋f′χ₀)(χ－χ₀)，“＝”成立当且仅当“χ＝χ₀”，从而[*] 两式相加得f(χ₀)＜[*]，即[*]，由凹函数的定义，f(χ)在(a，b)内为凹函数．

解析

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