设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

admin2017-07-26 41

问题设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

选项

答案令λ为BA的一个非零特征值，α是BA的属于λ的特征向量，则BAα=λα(α≠0)．在此等式两端左乘矩阵A，则 A(BAα)=AB(Aα)=α(Aα)(α≠0) 再证Aα≠0．事实上，若Aα=0，则 BAα=B．0=0=λα(α≠0)，于是λ=0，矛盾．所以Aα≠0．于是λ为AB的非零特征值，且Aα是AB的属于λ的特征向量．同理可证，AB的非零特征值λ也是BA的非零特征值，故AB与BA有相同非零特征值．如β是AB的属于λ的特征向量，则Bβ是BA的属于λ的特征向量．

解析

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