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已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2,求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2,求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.
admin
2013-09-15
92
问题
已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx-2ydy,并且f(1,1)=2,求f(x,y)在椭圆域
上的最大值和最小值.
选项
答案
根据题意,先求f(x,y)的表达式. 由已知有dz=dx
2
-dy
2
=d(x
2
-y
2
)[*]z=x
2
-y
2
+C. 又为f(1,1)=2,所以C=2,从面z=f(x,y)=x
2
-y
2
+2. 然后求出f(x,y)在D内驻点及相应函数值,解[*] 得(x,y)=(0,0),即f(x,y)在D内有唯一驻点(0,0),且f(0,0)=2. 接着求f(x,y)在D的边界y
2
=φ(1-x
2
)上的最大值和最小值. 将y
2
=φ(1-x
2
)(|x|≤1)代入x=x
2
-y
2
+2得z(x)=x
2
-φ(1-x
2
)+2=5x
2
-2. 显然,z(x)在[-1,1]上的最大值为3,最小值为-2, 综上,z=f(x,y)在D上的最大值是max{2,3,-2}=3,最小值是min{2,3,-2}=-2.
解析
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考研数学二
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