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  3. 已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2，求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．

已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2，求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．

admin2013-09-15  69
问题 已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f(1，1)=2，求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．
选项
答案根据题意，先求f(x，y)的表达式． 由已知有dz=dx2-dy2=d(x2-y2)[*]z=x2-y2+C． 又为f(1，1)=2，所以C=2，从面z=f(x，y)=x2-y2+2． 然后求出f(x，y)在D内驻点及相应函数值，解[*] 得(x，y)=(0，0)，即f(x，y)在D内有唯一驻点(0，0)，且f(0，0)=2． 接着求f(x，y)在D的边界y2=φ(1-x2)上的最大值和最小值． 将y2=φ(1-x2)(｜x｜≤1)代入x=x2-y2+2得z(x)=x2-φ(1-x2)+2=5x2-2． 显然，z(x)在[-1，1]上的最大值为3，最小值为-2， 综上，z=f(x，y)在D上的最大值是max{2，3，-2}=3，最小值是min{2，3，-2}=-2．
解析
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考研数学二

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