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设 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
设 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
admin
2021-01-25
47
问题
设
(Ⅰ)求满足Aξ
2
=ξ
1
，A
2
ξ
3
=ξ
1
的所有向量ξ
2
，ξ
3
；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ
2
，ξ
3
，证明ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关．
选项
答案
(Ⅰ)设ξ
2
=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，解方程组Aξ
2
=ξ
1
，由 [A，ξ
1
] [*] 得x
1
=－x
2
，x
3
=1－2x
2
(x
2
任意)．令自由未知量x
2
=－c
1
，则得 ξ
2
[*] 其中c
1
为任意常数． 设ξ
3
=(y
1
，y
2
，y
3
)
T
，解方程组A
2
ξ
2
=ξ
1
，由 [A
2
，ξ
1
] [*] 得y
1
=－[*]－y
2
(y
2
，y
3
任意)．令自由未知量y
2
=c
2
，y
3
=c
3
，则得 [*] 其中c
2
，c
3
为任意常数． (Ⅱ)3个3维向量ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关的充要条件是3阶行列式D=|ξ
1
ξ
2
ξ
3
|≠0．而 [*] 所以ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4Ax4777K
0
考研数学三
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