(Ⅰ)求函数 y(x)=1++…(一∞＜x＜+∞) 所满足的二阶常系数线性微分方程； (Ⅱ)求(Ⅰ)中幂级数的和函数y(x)的表达式．

admin2017-10-23 87

问题 (Ⅰ)求函数
y(x)=1+

+…(一∞＜x＜+∞)
所满足的二阶常系数线性微分方程；
(Ⅱ)求(Ⅰ)中幂级数的和函数y(x)的表达式．

选项

答案(Ⅰ)当一∞＜x＜+∞时题设的幂级数可任意次逐项求导，且 [*] 由此可见y(x)满足二阶常系数齐次线性微分方程y"一y=0． (Ⅱ)直接计算可得y(0)=1，y’(0)=[*]，从而函数y(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题 [*] 的特解．注意特征方程λ²—1=0有二相异特征根λ=1与λ=一1，可见微分方程的通解为y(x)=C₁e^x+C₂e^x．利用初值y(0)=1与y’(0)=[*]．故(Ⅰ)中幂级数的和函数y(x)=[*]e^—x(一∞＜x＜+∞)．

解析

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考研数学三

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