设A为三阶矩阵，α1,α2,α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。求可逆矩阵P使得P一1AP=A。

admin2019-05-11 142

问题设A为三阶矩阵，α₁,α₂,α₃是线性无关的三维列向量，且满足Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃。
求可逆矩阵P使得P^一1AP=A。

选项

答案(由(E—B)x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量 β₁=(一1，1，0)^T，β₂=(一2．0．1)^T：由(4E—B)x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β₃=(0，1，1)^T。令P₂=(β₁，β₂，β₃)=[*] 则P₂^一1P₁^一1AP₁P₂=[*] 即当P=P₁P₂=(α₁,α₂,α₃)[*]=(一α₁+α₂，一2α₁+α₃，α₂+α₃)时，有P^一1AP=A=[*]

解析

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设向量组α1，α2，…，αs为齐次线性方程组AX＝0的一个基础解系，Aβ≠0．证明：齐次线性方程组BY＝0只有零解，其中B＝(β，β＋α1，…，β＋αs)．
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