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  3. 设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．

admin2017-09-15  69
问题 设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．
选项
答案A所对应的二次型为f＝XTAX， 因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X＝QY，使得 f＝XTAX[*]λ1y12＋λ2y22＋…＋λnyn2，其中λi＞0(i＝1，2，…，n)， 对任意的X≠0，因为X＝QY，所以Y＝QTX≠0， 于是f＝λ1y12＋λ2y22＋…＋λnyn2＞0，即对任意的X≠0有XTAX＞0，所以XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵．
解析
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考研数学二

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