设α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT，试计算： (1)｜A｜；(2)An；(3)A－1．

admin2019-07-19 30

问题设α=[a₁，a₂，…，a_n]T≠0，β=[b₁，b₂，…，b_n]T≠0，且α^Tβ=0，A=E+αβ^T，试计算：
(1)｜A｜；(2)Aⁿ；(3)A^－1．

选项

答案(1) [*] (2)Aⁿ=(E+αβ^T)ⁿ=Eⁿ+nE^n－1αβ^T+[*]E^n－2(αβ^T)²+…．当k≥2时，有 (αβ^T)^k=(αβ^T)(αβ^T)…(αβ^T)=α(β^Tα)(β^Tα)…(β^Tα)β^T=O，故Aⁿ=E+nαβ^T． (3)A²=(E+αβ^T)(E+αβ^T)=E+2αβ^T+αβ^Tαβ^T=E+2αβ^T=2E+2αβ^T—E=2A－E．得2A－A²=E，A(2E－A)=E，故A^－1=2E－A=E－αβ^T．

解析

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考研数学一

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