设F(x)=∫-11｜t－x｜dt－(1+e-1），则F(x)=0在区间[－1,1]上的实根个数。( )

admin2022-03-23 59

问题设F(x)=∫_-1¹｜t－x｜

dt－

(1+e^-1），则F(x)=0在区间[－1,1]上的实根个数。( )

选项 A、恰为0
B、恰为1
C、恰为2
D、至少为3

答案C

解析 F(x)=∫_-1^x(x－t)

dt+∫_x¹(t－x)

dt－

(1+e^-1)
=x∫_-1^x

dt－∫_-1^xt

dt+∫_x¹t

dt－x∫_x¹

dt－

(1+e^-1)
F’(x)=∫_-1^x

dt+x

－x

－∫_x¹

dt+x

=∫_-1^x

dt－∫_x¹

dt
对第二个积分作积分变量代换，令t=－μ,有
F’(x)=∫_-1^x

dt+∫_-x^-1

du=∫_-x^x

dt=2∫₀^x

dt
所以当x＞0时，F’(x)＞0；
当x＜0时，F’(x)＜0.
所以F(x)在区间(－1,0)内严格单调减少，在区间(0,1)内严格单调增加，再讨论F(x)在点x=－1,x=0，x=1函数值的正负，以确定F(x)=0的实根个数.
F(－1)=∫_-1¹t

dt+∫_-1¹

dt－

(1+e^-1）=0+∫₀¹

dt－

(1+e^-1）＞2∫₀¹e^-1dt－

(1+e^-1)=

＞0
F(0)=∫_-1¹｜t｜

dt－

(1+e^-1）=2∫₀¹t

dt－

（1+e^-1)
=－e^-1+1－

(1+e^-1)=

＜0
F(1)=∫_-1¹

dt－∫_-1¹t

dt－

(1+e^-1）=2∫₀¹

dt－1/2(1+e^-1)＞2∫₀¹e^-1dt－1/2(1+e^-1)=

＞0.
由连续函数零点定理可知，F(x)=0在区间(－1,0)与区间(0,1)内分别至少有一实根，再由单调性可知，在这两个区间内正好各有一实根，故有两个实根，选C。

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