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  3. 设F(x)=∫-11｜t－x｜dt－(1+e-1），则F(x)=0在区间[－1,1]上的实根个数。( )

设F(x)=∫-11｜t－x｜dt－(1+e-1），则F(x)=0在区间[－1,1]上的实根个数。( )

admin2022-03-23  99
问题 设F(x)=∫-11｜t－x｜dt－(1+e-1），则F(x)=0在区间[－1,1]上的实根个数。(          )
选项 A、恰为0
B、恰为1
C、恰为2
D、至少为3
答案C
解析 F(x)=∫-1x(x－t)dt+∫x1(t－x)dt－(1+e-1)
=x∫-1xdt－∫-1xtdt+∫x1tdt－x∫x1dt－(1+e-1)
F’(x)=∫-1xdt+x－x－x－∫x1dt+x
=∫-1xdt－∫x1dt
对第二个积分作积分变量代换，令t=－μ,有
F’(x)=∫-1xdt+∫-x-1du=∫-xxdt=2∫0xdt
所以当x＞0时，F’(x)＞0；
当x＜0时，F’(x)＜0.
所以F(x)在区间(－1,0)内严格单调减少，在区间(0,1)内严格单调增加，再讨论F(x)在点x=－1,x=0，x=1函数值的正负，以确定F(x)=0的实根个数.
F(－1)=∫-11tdt+∫-11dt－(1+e-1）=0+∫01dt－(1+e-1）＞2∫01e-1dt－(1+e-1)=＞0
F(0)=∫-11｜t｜dt－(1+e-1）=2∫01tdt－（1+e-1)
=－e-1+1－(1+e-1)=＜0
F(1)=∫-11dt－∫-11tdt－(1+e-1）=2∫01dt－1/2(1+e-1)＞2∫01e-1dt－1/2(1+e-1)=＞0.
由连续函数零点定理可知，F(x)=0在区间(－1,0)与区间(0,1)内分别至少有一实根，再由单调性可知，在这两个区间内正好各有一实根，故有两个实根，选C。
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考研数学三

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