设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01f(x)dx，证明：必有一点ξ∈(0，1)，使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0．

admin2014-10-22 37

问题设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫₀¹f(x)dx，证明：必有一点ξ∈(0，1)，使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0．

选项

答案设F(x)=xf(x)，显然F(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(1)F(1)=∫₀¹xf(x)dx=∫₀¹F(x)dx=F(η)，η∈(0，1)，由罗尔定理，至少存在一点ζ∈(η，1)[*](0，1)，使得F’(ζ)=0，又F’(x)=xf’(x)+f(x)，故ζf’(ζ)+f(ζ)=0，命题得证．

解析

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