设f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=∫01f(x)dx,证明:必有一点ξ∈(0,1),使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0.

admin2014-10-22  32

问题 设f(x)在[0,1]上可导,且满足f(1)=∫01f(x)dx,证明:必有一点ξ∈(0,1),使得ξf’(ξ)+f(ξ)=0.

选项

答案设F(x)=xf(x),显然F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(1)F(1)=∫01xf(x)dx=∫01F(x)dx=F(η),η∈(0,1),由罗尔定理,至少存在一点ζ∈(η,1)[*](0,1),使得F’(ζ)=0,又F’(x)=xf’(x)+f(x),故ζf’(ζ)+f(ζ)=0,命题得证.

解析
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