2. 考研
  3. (Ⅰ)设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f′(x0)g′(x0)＜0，求证：x=x0是f(x)g(x)的极大值点． (Ⅱ)求函数F(x)=(x∈(—∞，+∞))的值域区间

(Ⅰ)设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f′(x0)g′(x0)＜0，求证：x=x0是f(x)g(x)的极大值点． (Ⅱ)求函数F(x)=(x∈(—∞，+∞))的值域区间

admin2022-04-08  105
问题 (Ⅰ)设f(x)，g(x)在点x=x0处可导且f(x0)=g(x0)=0，f′(x0)g′(x0)＜0，求证：x=x0是f(x)g(x)的极大值点．
(Ⅱ)求函数F(x)=(x∈(—∞，+∞))的值域区间
选项
答案(Ⅰ)由于[*]=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)=0，因此x=x0是f(x)g(x)的驻点，进一步证明是它的极大值点． 由条件f′(x0)g′(x0)＜0 [*]f′(x0)＜0，g′(x0)＞0(或f′(x0)＞0，g′(x0)＜0)，由 [*] g′(x0)=[*] 及极限的保号性质[*]δ＞0，当x∈(x0—δ，x0+δ，x≠x0时 [*] [*]x∈(x0，x0+δ)时 f(x)＜0(＞0)， g(x)＞0(＜0)； x∈(x0—δ，x0)时 f(x)＞0(＜0)， g(x)＜0(＞0) x∈(x0—δ，x0+δ)，x≠x0时 f(x)g(x)＜0=f(x0)g(x0) x=x0是f(x)g(x)的极大值点． (Ⅱ)由题设知F(x)是(—∞，+∞)上连续的偶函数，且由 [*] F(x)在(—∞，0]上[*]，在[0，+∞)上[*]． 由于F(0)=0．又 [*] 因此，函数F(x)的值域区间是[0，[*]arctant2)．
解析
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考研数学二

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