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设二次型f(x1,x21,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记α=(a1,a2,a3)T,β=(b1,b2,b3)T.(1)证明:二次型f对应的矩阵为2αα T+ββTT;(2)若α,β正交且均为单位向量,证
设二次型f(x1,x21,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记α=(a1,a2,a3)T,β=(b1,b2,b3)T.(1)证明:二次型f对应的矩阵为2αα T+ββTT;(2)若α,β正交且均为单位向量,证
admin
2020-06-05
54
问题
设二次型f(x
1
,x
21
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
,记α=(a
1
,a
2
,a
3
)
T
,β=(b
1
,b
2
,b
3
)
T
.(1)证明:二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββT
T
;(2)若α,β正交且均为单位向量,证明:f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
选项
答案
(1)由已知条件 f(x
1
,x
2
,x
31
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
[*] 且(2αα
T
+ββ
T
)
T
=2αα
T
+ββ
T
,所以二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
. (2)设A=2αα
T
+ββ
T
,由于|α|=1,β
T
α=0,那么 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α|α|
2
+ββ
T
α=2α 所以α为矩阵对应特征值λ
1
=2的特征向量.又Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
β+β|β|
2
=β所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量. 又矩阵A满足 R(A)=R(2αα
T
+ββ
T
)≤R(2αα
T
)+R(ββ
T
)=2 所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值,故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1Nv4777K
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考研数学一
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