2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x21，x3)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2，记α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T．(1)证明：二次型f对应的矩阵为2αα T＋ββTT；(2)若α，β正交且均为单位向量，证

设二次型f(x1，x21，x3)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2，记α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T．(1)证明：二次型f对应的矩阵为2αα T＋ββTT；(2)若α，β正交且均为单位向量，证

admin2020-06-05  59
问题 设二次型f(x1，x21，x3)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2，记α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T．(1)证明：二次型f对应的矩阵为2αα T＋ββTT；(2)若α，β正交且均为单位向量，证明：f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
选项
答案(1)由已知条件 f(x1，x2，x31)＝2(a1x1＋a2x2＋a3x3)2＋(b1x1＋b2x2＋b3x3)2 [*] 且(2ααT＋ββT)T＝2ααT＋ββT，所以二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (2)设A＝2ααT＋ββT，由于｜α｜＝1，βTα＝0，那么 Aα＝(2ααT＋ββT)α＝2α｜α｜2＋ββTα＝2α 所以α为矩阵对应特征值λ1＝2的特征向量．又Aβ＝(2ααT＋ββT)β＝2ααTβ＋β｜β｜2＝β所以β为矩阵对应特征值λ2＝1的特征向量． 又矩阵A满足 R(A)＝R(2ααT＋ββT)≤R(2ααT)＋R(ββT)＝2 所以λ3＝0也是矩阵的一个特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12＋y22．
解析
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考研数学一

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