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设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。
admin
2018-12-29
70
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,B
T
为B的转置矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。
选项
答案
必要性:设B
T
AB为正定矩阵,所以r(B
T
AB)=n,又因为r(B
T
AB)≤r(B)≤n,所以r(B)=n。 充分性:因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
(B
T
)
T
=B
T
AB,故B
T
AB为实对称矩阵。 若r(B)=n,则线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意的n维实列向量x≠0,有Bx≠0。又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)
T
A(Bx)>0。于是当x≠0,有x
T
(B
T
AB)x= (Bx)
T
A(Bx)>0,故B
T
AB为正定矩阵。
解析
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考研数学一
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