设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

admin2018-12-29  29

问题 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

选项

答案必要性:设BTAB为正定矩阵,所以r(BTAB)=n,又因为r(BTAB)≤r(B)≤n,所以r(B)=n。 充分性:因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB,故BTAB为实对称矩阵。 若r(B)=n,则线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意的n维实列向量x≠0,有Bx≠0。又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)TA(Bx)>0。于是当x≠0,有xT(BTAB)x= (Bx)TA(Bx)>0,故BTAB为正定矩阵。

解析
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