设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

admin2018-12-29 74

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，所以r(B^TAB)=n，又因为r(B^TAB)≤r(B)≤n，所以r(B)=n。充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)＞0。于是当x≠0，有x^T(B^TAB)x= (Bx)^TA(Bx)＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1RM4777K

考研数学一

相关试题推荐

设f(x)在(0，+∞)内连续，且f(x)>0，讨论φ(x)的单调性，其中
假设随机变量X等可能地取1，2，3，4为值，而随机变量Y等可能地取1到X的自然数为值，试求X和Y的联合概率分布．
设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=－1，且分别是λ1，λ2对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是求a及λ0的值，并求矩阵A．
已知A是3×4矩阵，r(A)=1，若α1=(1，2，0，2)T，α2=(1，－1，a，5)T，α3=(2，a，－3，－5)T，α4=(－1，－1，1，a)T线性相关，且可以表示齐次方程Ax=0的任一解，求Ax=0的基础解系．
已知矩阵若矩阵X和Y满足X2+XY=E,A(X+Y)B=E．则矩阵Y=______．
已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，－1]T，ξ3=[0，2，1，－1]T，添加两个方程后组成齐次方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．
设数列{nan}收敛，级数n(an一an-1)收敛(不妨设其中a0=0)，证明：级数收敛．
设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(I)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(-π≤x≤π)，及g(2π)的值．
二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3—2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．

随机试题

助人为乐
我们的实验现在已经到了最后也是最重要的一个阶段。
患者男性，67岁，自觉双下肢胫前皮肤瘙痒一年余，以夜间为重，近两天来因进食辛辣食物症状加重，双胫前皮肤可见抓痕、血痂，局部皮肤肥厚，苔藓化你认为以下哪项治疗方案最不可取
能指明疼痛部位的牙齿病症如下，除外
鹿茸中有降压作用的成分是
根据《民法通则》，15周岁的未成年人(　　)。
Jackwasafifteen-year-oldboylivingwithhislittlesister,Linda.Theirparentshadpassed【C1】______longago.Jackhadtaken
下列关于高自我效能感个体的行为表现描述正确的是()
下表正确的是()。在父类中的访问属性访问修饰符在子类中的访问属性
ManyadvocatesofauniversalhealthcaresystemIntheUnitedStateslooktoCanadafortheirmodel.WhiletheCanadianhealthca

最新回复(0)

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

考研数学一

设f(x)在(0，+∞)内连续，且f(x)>0，讨论φ(x)的单调性，其中

假设随机变量X等可能地取1，2，3，4为值，而随机变量Y等可能地取1到X的自然数为值，试求X和Y的联合概率分布．

设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

设A是三阶实对称矩阵，A的特征值是λ1=1，λ2=2，λ3=－1，且分别是λ1，λ2对应的特征向量，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，λ0所对应的特征向量是求a及λ0的值，并求矩阵A．

已知A是3×4矩阵，r(A)=1，若α1=(1，2，0，2)T，α2=(1，－1，a，5)T，α3=(2，a，－3，－5)T，α4=(－1，－1，1，a)T线性相关，且可以表示齐次方程Ax=0的任一解，求Ax=0的基础解系．

已知矩阵若矩阵X和Y满足X2+XY=E,A(X+Y)B=E．则矩阵Y=______．

已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，－1]T，ξ3=[0，2，1，－1]T，添加两个方程后组成齐次方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．

设数列{nan}收敛，级数n(an一an-1)收敛(不妨设其中a0=0)，证明：级数收敛．

设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(I)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(-π≤x≤π)，及g(2π)的值．

二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3—2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．

助人为乐

我们的实验现在已经到了最后也是最重要的一个阶段。

患者男性，67岁，自觉双下肢胫前皮肤瘙痒一年余，以夜间为重，近两天来因进食辛辣食物症状加重，双胫前皮肤可见抓痕、血痂，局部皮肤肥厚，苔藓化你认为以下哪项治疗方案最不可取

能指明疼痛部位的牙齿病症如下，除外

鹿茸中有降压作用的成分是

根据《民法通则》，15周岁的未成年人( )。

Jackwasafifteen-year-oldboylivingwithhislittlesister,Linda.Theirparentshadpassed【C1】______longago.Jackhadtaken

下列关于高自我效能感个体的行为表现描述正确的是()

下表正确的是()。在父类中的访问属性访问修饰符在子类中的访问属性

ManyadvocatesofauniversalhealthcaresystemIntheUnitedStateslooktoCanadafortheirmodel.WhiletheCanadianhealthca

根据《民法通则》，15周岁的未成年人(　　)。