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设函数f(χ)和g(χ)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g′(χ)<0,试证明存在ξ∈(a,b)使=0
设函数f(χ)和g(χ)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g′(χ)<0,试证明存在ξ∈(a,b)使=0
admin
2017-03-06
20
问题
设函数f(χ)和g(χ)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g′(χ)<0,试证明存在ξ∈(a,b)使
=0
选项
答案
令φ(χ)=f(χ)∫
χ
b
g(t)dt+g(χ)∫
a
χ
f(t)dt,显然函数φ(χ)在区间[a,b]上连续,函数φ(χ)在区间(a,b)内可导,且 φ′(χ)=[f′(χ)∫
χ
b
g(t)dt-f(χ)g(χ)]+[g(χ)f(χ)+g′(χ)∫
a
χ
f(t)dt] =f′(χ)∫
χ
b
g(t)dt+g′(χ)∫
a
χ
f(t)dt 另外又有φ(a)=φ(b)=0. 所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a,b)使φ′(ξ)=0,即 f′(ξ)∫
ξ
b
g(t)dt+g′(ξ)∫
a
ξ
f(t)dt=0, 由于g(b)=0及g′(χ)<0,所以区间(a,b)内必有g(χ)>0,从而就有∫
χ
b
g(t)dt>0, 于是有[*]
解析
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考研数学二
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