2. 考研
  3. 设函数f(χ)和g(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使＝0

设函数f(χ)和g(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使＝0

admin2017-03-06  18
问题 设函数f(χ)和g(χ)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g′(χ)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使＝0
选项
答案令φ(χ)＝f(χ)∫χbg(t)dt＋g(χ)∫aχf(t)dt，显然函数φ(χ)在区间[a，b]上连续，函数φ(χ)在区间(a，b)内可导，且 φ′(χ)＝[f′(χ)∫χbg(t)dt－f(χ)g(χ)]＋[g(χ)f(χ)＋g′(χ)∫aχf(t)dt] ＝f′(χ)∫χbg(t)dt＋g′(χ)∫aχf(t)dt 另外又有φ(a)＝φ(b)＝0． 所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a，b)使φ′(ξ)＝0，即 f′(ξ)∫ξbg(t)dt＋g′(ξ)∫aξf(t)dt＝0， 由于g(b)＝0及g′(χ)＜0，所以区间(a，b)内必有g(χ)＞0，从而就有∫χbg(t)dt＞0， 于是有[*]
解析
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考研数学二

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