设，变换Y=AX+B，其中变换矩阵。 (1)写出椭圆在该变换下Y=满足的曲线方程； (2)举例说明在该变换下什么性质保持不变，什么性质发生变化(例如距离、斜率等)。

admin2022-08-04 84

问题设

，变换Y=AX+B，其中变换矩阵

。
(1)写出椭圆

在该变换下Y=

满足的曲线方程；
(2)举例说明在该变换下什么性质保持不变，什么性质发生变化(例如距离、斜率等)。

选项

答案(1)由题意得，[*]，代入椭圆方程得(y₁-3)²+(y₂-5)²=1。 (2)平面内任意两点的距离都可通过平移转化为原点到对应点(x，y)的距离，不妨取原点(0，0)与点(2，3)。由(1)可得，(0，0)在题中变换下的像为(3，5)，(2，3)在题中变换下的像为(4，6)，记两点在变换前的距离为d，变换后的距离为d’，则[*]，显然在该变换下平面内两点的距离发生变化。平面内任意直线(斜率存在)都可以通过平移转化为过原点的直线y=kx。若k=0，由(1)可得，直线y=0在题中变换下的方程为3(y’-5)=0，即y=5，斜率仍为0；若k≠0，不妨令k=3/2，直线y=3/2x在题中变换下的方程为3(y’-5)=(3/2)×2(x’-3)，即y=x+2，斜率为1。综上，在题中变换下斜率为0的直线的斜率不发生变化，斜率不为0的直线的斜率发生变化。

解析

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