求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一条切线，使得该切线与直线x=2，x=6及曲线y=lnx所围成的图形的面积最小．

admin2017-08-31 48

问题求曲线y=lnx在区间(2，6)内的一条切线，使得该切线与直线x=2，x=6及曲线y=lnx所围成的图形的面积最小．

选项

答案如右图所示，设切点为(x₁，lnx₁)，则过此点的切线方程为 [*] y=[*](x—x₁)+lnx₁，此时 S=∫₂⁶[[*](x—x₁)+lnx₁—lnx]dx =[*]+41nx₁—4ln2—6ln3．令[*]=0．得 x₁=4．因为x₁＜4时， [*]＜0； x₁＞4时， [*]＞0，所以当x₁=4时，S取得最小值，因此所求切线为 y=[*](x—4)+ln4．

解析

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