设函数f’(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0，试证明： ∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．

admin2023-01-06 37

问题设函数f’(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0，试证明：
∫_a^bf²(x)dx≤

∫_a^b[f’(x)]²dx．

选项

答案因为f²(x)=[f(x)一f(a)]²=[∫_a^xf’(t)dt]²，而 [∫_a^xf’(t)dt]²≤(x一a)∫_a^x[f’(t)]²dt≤(x一a)∫_a^b[f’(t)]²dt (施瓦茨不等式)，所以 ∫_a^bf²(x)fx≤∫_a^b(x一a)dx∫_a^b[f’(t)]²dt=[*][f’(x)]²dx．

解析

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