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已知,当λ取何值时。 (Ⅰ)β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一; (Ⅱ)β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式不唯一,并写出此时β的表达式; (Ⅲ)β不能由α1,α2,α3线性表示。
已知,当λ取何值时。 (Ⅰ)β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一; (Ⅱ)β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式不唯一,并写出此时β的表达式; (Ⅲ)β不能由α1,α2,α3线性表示。
admin
2019-01-25
46
问题
已知
,当λ取何值时。
(Ⅰ)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,且表达式唯一;
(Ⅱ)β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,且表达式不唯一,并写出此时β的表达式;
(Ⅲ)β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示。
选项
答案
设α
1
x
1
+α
2
x
2
+α
3
x
3
=β,则题干转化为当λ取何值时,该方程组有唯一解、无穷多解、无解。 线性方程组为[*] 对增广矩阵实施初等变换化为阶梯形矩阵, [*] 根据线性方程组解的存在性和唯一性的条件,可知 (Ⅰ)当A≠1且[*]时,方程组有唯一解,即β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,且表达式唯一。 (Ⅱ)当λ=1时,方程组有无穷多解,即β可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,且表达式不唯一,此时增广矩阵为[*],通解为 x=(1,0,1)
T
+k(0,1,1)
T
,k为任意常数。 即β的表达式为β=α
1
+kα
2
+(1+k)α
3
,k为任意常数。 (Ⅲ)当[*]时,方程组无解,即β不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示。
解析
本题考查向量的线性表示和线性方程组根的判别。题目可转化为线性方程组解的存在性和唯一性问题,将题干条件用线性方程组表示,通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩判断方程组解的情况。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1hP4777K
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考研数学三
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