2. 考研
  3. 已知，当λ取何值时。 (Ⅰ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一； (Ⅱ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一，并写出此时β的表达式； (Ⅲ)β不能由α1，α2，α3线性表示。

已知，当λ取何值时。 (Ⅰ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一； (Ⅱ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一，并写出此时β的表达式； (Ⅲ)β不能由α1，α2，α3线性表示。

admin2019-01-25  43
问题 已知，当λ取何值时。
    (Ⅰ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一；
    (Ⅱ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一，并写出此时β的表达式；
    (Ⅲ)β不能由α1，α2，α3线性表示。
选项
答案设α1x1＋α2x2＋α3x3＝β，则题干转化为当λ取何值时，该方程组有唯一解、无穷多解、无解。 线性方程组为[*] 对增广矩阵实施初等变换化为阶梯形矩阵， [*] 根据线性方程组解的存在性和唯一性的条件，可知 (Ⅰ)当A≠1且[*]时，方程组有唯一解，即β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一。 (Ⅱ)当λ＝1时，方程组有无穷多解，即β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一，此时增广矩阵为[*]，通解为 x＝(1，0，1)T＋k(0，1，1)T，k为任意常数。 即β的表达式为β＝α1＋kα2＋(1＋k)α3，k为任意常数。 (Ⅲ)当[*]时，方程组无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示。
解析 本题考查向量的线性表示和线性方程组根的判别。题目可转化为线性方程组解的存在性和唯一性问题，将题干条件用线性方程组表示，通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩判断方程组解的情况。
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考研数学三

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