2. 考研
  3. 已知A，B均是m×n矩阵，r(A)=n一s，r(B)=n一r，且r+s＞n，证明：线性方程组AX=0，BX=0有非零公共解．

已知A，B均是m×n矩阵，r(A)=n一s，r(B)=n一r，且r+s＞n，证明：线性方程组AX=0，BX=0有非零公共解．

admin2017-07-26  59
问题 已知A，B均是m×n矩阵，r(A)=n一s，r(B)=n一r，且r+s＞n，证明：线性方程组AX=0，BX=0有非零公共解．
选项
答案Am×nX=0，因r(A)=n一s，故有s个线性无关解向量组成AX=0的基础解系，设为α1，α2，…，αs． Bm×nX=0，因r(B)=n一r，故有r个线性无关解向量组成BX=0的基础解系，设为β1，β2，…，βr． 因s+r＞n，故s+r个n维向量α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βr线性相关，即存在不全为0的k1，k2，…，ks，μ1，μ2，…，μr，使得 k1α1+k2α2+…+ksαs+μ1β1+μ2β2+…+μrβr=0， [*] 因α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs线性无关，故ki=0(i=1，2，…，s)，ui=0(i=1，2，…，r)，这和k1，k2，…，ks，μ1，μ2，…，μr不全为0矛盾，故[*]也是BX=0的解)．
解析
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考研数学三

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