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已知A,B均是m×n矩阵,r(A)=n一s,r(B)=n一r,且r+s>n,证明:线性方程组AX=0,BX=0有非零公共解.
已知A,B均是m×n矩阵,r(A)=n一s,r(B)=n一r,且r+s>n,证明:线性方程组AX=0,BX=0有非零公共解.
admin
2017-07-26
45
问题
已知A,B均是m×n矩阵,r(A)=n一s,r(B)=n一r,且r+s>n,证明:线性方程组AX=0,BX=0有非零公共解.
选项
答案
A
m×n
X=0,因r(A)=n一s,故有s个线性无关解向量组成AX=0的基础解系,设为α
1
,α
2
,…,α
s
. B
m×n
X=0,因r(B)=n一r,故有r个线性无关解向量组成BX=0的基础解系,设为β
1
,β
2
,…,β
r
. 因s+r>n,故s+r个n维向量α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
r
线性相关,即存在不全为0的k
1
,k
2
,…,k
s
,μ
1
,μ
2
,…,μ
r
,使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
+μ
1
β
1
+μ
2
β
2
+…+μ
r
β
r
=0, [*] 因α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关,故k
i
=0(i=1,2,…,s),u
i
=0(i=1,2,…,r),这和k
1
,k
2
,…,k
s
,μ
1
,μ
2
,…,μ
r
不全为0矛盾,故[*]也是BX=0的解).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/R5H4777K
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考研数学三
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