设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (Ⅰ)计算PTDP，其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B一CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2016-10-26 62

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(Ⅰ)计算P^TDP，其中P=

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B一C^TA^－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

选项

答案(Ⅰ)因为P^T=[*]，则 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵D与矩阵M=[*]合同，又因D是正定矩阵，所以矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B—C^TA^－1C是对称矩阵．对m维向量X=(0，0，…，0)^T和任意n维非0向量Y=(y₁，y₂，…，y_n)^T≠0，有 [*] 按定义，Y^T(B—C^TA^－1C)Y为正定二次型，所以矩阵B—C^TA^－1C为正定矩阵．

解析

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