2. 考研
  3. 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (Ⅰ)计算PTDP，其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B一CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (Ⅰ)计算PTDP，其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B一CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．

admin2016-10-26  45
问题 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．
(Ⅰ)计算PTDP，其中P=
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B一CTA－1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
选项
答案(Ⅰ)因为PT=[*]，则 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵D与矩阵M=[*]合同，又因D是正定矩阵，所以矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B—CTA－1C是对称矩阵． 对m维向量X=(0，0，…，0)T和任意n维非0向量Y=(y1，y2，…，yn)T≠0，有 [*] 按定义，YT(B—CTA－1C)Y为正定二次型，所以矩阵B—CTA－1C为正定矩阵．
解析
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考研数学一

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