欧拉方程x2y’’+xy’-4y=x3的通解为___．

admin2017-10-25 39

问题欧拉方程x²y’’+xy’-4y=x³的通解为___．

选项

答案y=C₁x²+[*]x

解析令x=e^t，则

原方程化为[D(D-1)+D-4]y=e^3t，即
(D²-4)y=e^3t， (*)
方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r²-4=0，有根r₁=2，r₂=-2，故齐次方程的通解为
Y=C₁e^2t+C₂e^-2t=C₂x²+

因为f(t)=e^3t，λ=3不是特征方程的根，故可令y^*=ae^3t是方程(*)的一个特解，代入原方程x²y’’+xy’-4y=x³中，解得a=

，即y^*=

e^3t，因此原方程的通解为
y=Y+y^*=C₁x²+

x³．
故应填y=C₁x²+

x³．

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