2. 考研
  3. 设f"(x)≤0(x≥0)，P(x，y)为曲线L：y＝f(x)上任一点，过点P的切线交y轴于点Q，且S△OPQ＝x3e－x，又曲线过点(1，)． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求y＝f(x)在[0，＋∞)上的最小值和最大值，并求曲线y＝f(x)在(0，＋∞)的

设f"(x)≤0(x≥0)，P(x，y)为曲线L：y＝f(x)上任一点，过点P的切线交y轴于点Q，且S△OPQ＝x3e－x，又曲线过点(1，)． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求y＝f(x)在[0，＋∞)上的最小值和最大值，并求曲线y＝f(x)在(0，＋∞)的

admin2021-03-18  28
问题 设f"(x)≤0(x≥0)，P(x，y)为曲线L：y＝f(x)上任一点，过点P的切线交y轴于点Q，且S△OPQ＝x3e－x，又曲线过点(1，)．
(Ⅰ)求f(x)；
(Ⅱ)求y＝f(x)在[0，＋∞)上的最小值和最大值，并求曲线y＝f(x)在(0，＋∞)的凹凸性．
选项
答案(Ⅰ)过点P(x，y)的切线为Y－y＝y’(X－x)，令X＝0得Y＝y－xy’， 由题意得S△OPQ＝[*]·x·(y－xy’)＝x3e－x， 整理得y’－[*]＝－2xe－x， 解得y＝(∫－2xe－x·[*]dx＋C)[*]＝(2e－x＋C)x， 因为曲线经过点[*]，所以C＝0，故f(x)＝2xe－x． (Ⅱ)令f’(x)＝2(1－x)e－x＝0得x＝1， 当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，f’(x)＜0， 则x＝1为f(x)在[0，＋∞)的最大值点，最大值为M＝f(1)＝[*] 因为当x＞0时，f(x)＞0且f(0)＝0，所以最小值为m＝f(0)＝0； 令f"(x)＝2(x－2)e－x＝0得x＝2， 当0＜x＜2时，f"(x)＜0；当x＞2时，f"(x)＞0， 则[0，2]为曲线y＝f(x)的凸区间，[2，＋∞)为曲线y＝f(x)的凹区间．
解析
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考研数学二

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