设f"(x)≤0(x≥0),P(x,y)为曲线L:y=f(x)上任一点,过点P的切线交y轴于点Q,且S△OPQ=x3e-x,又曲线过点(1,). (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求y=f(x)在[0,+∞)上的最小值和最大值,并求曲线y=f(x)在(0,+∞)的

admin2021-03-18  31

问题 设f"(x)≤0(x≥0),P(x,y)为曲线L:y=f(x)上任一点,过点P的切线交y轴于点Q,且S△OPQ=x3e-x,又曲线过点(1,).
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)求y=f(x)在[0,+∞)上的最小值和最大值,并求曲线y=f(x)在(0,+∞)的凹凸性.

选项

答案(Ⅰ)过点P(x,y)的切线为Y-y=y’(X-x),令X=0得Y=y-xy’, 由题意得S△OPQ=[*]·x·(y-xy’)=x3e-x, 整理得y’-[*]=-2xe-x, 解得y=(∫-2xe-x·[*]dx+C)[*]=(2e-x+C)x, 因为曲线经过点[*],所以C=0,故f(x)=2xe-x. (Ⅱ)令f’(x)=2(1-x)e-x=0得x=1, 当0<x<1时,f’(x)>0;当x>1时,f’(x)<0, 则x=1为f(x)在[0,+∞)的最大值点,最大值为M=f(1)=[*] 因为当x>0时,f(x)>0且f(0)=0,所以最小值为m=f(0)=0; 令f"(x)=2(x-2)e-x=0得x=2, 当0<x<2时,f"(x)<0;当x>2时,f"(x)>0, 则[0,2]为曲线y=f(x)的凸区间,[2,+∞)为曲线y=f(x)的凹区间.

解析
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