设A为n阶方阵，B为n阶可逆方阵，且AB=BA，证明： (1)若α是A的特征向量，则Bα也是A的特征向量． (2)若A有n个不同的特征值，α是A的特征向量，则α也是B的特征向量．

admin2017-07-26 53

问题设A为n阶方阵，B为n阶可逆方阵，且AB=BA，证明：
(1)若α是A的特征向量，则Bα也是A的特征向量．
(2)若A有n个不同的特征值，α是A的特征向量，则α也是B的特征向量．

选项

答案(1)设Aα=λα，则A(Bα)=B(Aα)=B(λα)=λ(Bα)，所以Bα也是A的特征向量． (2)由(1)知，α，Bα是A对应于同一特征值的特征向量，又由于A有n个不同的特征值，故对应于同一特征值的特征向量线性相关，所以α，Bα线性相关，又α，Bα均为非零向量，所以存在常数k，使Bα=kα，所以α是B的对应于特征值k的特征向量．

解析

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考研数学三

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设A为n阶方阵，B为n阶可逆方阵，且AB=BA，证明： (1)若α是A的特征向量，则Bα也是A的特征向量． (2)若A有n个不同的特征值，α是A的特征向量，则α也是B的特征向量．

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