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设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f’(x)≠0,证明:存在ξ,η,ζ∈(1,2),使得f’(ζ)/f’(ξ)=ξ/η.
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f’(x)≠0,证明:存在ξ,η,ζ∈(1,2),使得f’(ζ)/f’(ξ)=ξ/η.
admin
2022-10-12
70
问题
设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f’(x)≠0,证明:存在ξ,η,ζ∈(1,2),使得f’(ζ)/f’(ξ)=ξ/η.
选项
答案
令F(x)=lnx,F’(x)=1/x≠0,由柯西中值定理,存在ξ∈(1,2),使得[f(2)-f(1)]/[F(2)-F(1)]=f’(ξ)/F’(ξ),即[f(2)-f(1)]/(ln2-ln1)=f’(ξ)/1/ξ=ξf’(ξ),由拉格朗日中值定理得ln2-ln1=1/η·(2-1)=1/η,其中η∈(1,2),f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ),其中ζ∈(1,2),f’(ζ)/f’(ξ)=ξ/η.
解析
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考研数学三
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